Matematik ve Mantık Felsefesi – Naomi Zack
19.yüzyılda filozoflar niçin matematiğe, geometriye ve mantığa ilgi duydular?
Filozoflar bu konularla her zaman ilgilenmişlerdir ama 19.yüzyılda bilim ve teknoloji, önceki dönemlerden daha da fazla yeniliğe sahne oldu. Dünyada meydana gelen değişmeler yükseköğrenimi güçlendirici bir etki yarattı ve filozoflar bilim dallarında, matematikte yeni araştırmalara ilgi gösterdiler. Mantık Aristoteles’ten beri felsefi bir konu olagelmişti, bu yüzden de yeni mantık biçimleri, kendi mantıkçı olmayan birçok filozofun ilgisini çekti.
19.yüzyılda matematik ve mantık felsefesiyle ilgili hangi ilerlemeler kaydedildi?
19.yüzyılda olasılıkla ilgili mantıksal bir teori savunuldu, Öklid dışı geometri keşfedildi, bilimsel birincil ilkelerin nesnelliği ve zorunlu doğruluğu sorgulandı. Yeni bir mantıksal yazım sistemi geliştirildi ve matematiğin mantığa indirgenebilme olasılığı ortaya atıldı.
Pierre-Simon Laplace kimdi?
Pierre-Simon Laplace (1749-1827) olasılığa ilişkin klasik teorinin ne olması gerektiğini açıklayan bir matematikçi ve gökbilimciydi.Paris’te, askeri okul gibi değişik okullarda dersler verdi.
Pierre-Simon Laplace’ın olasılık teorisi neydi?
Belirli şeyleri bilmediğimiz gerçeği, olasılık düşüncesini ortaya çıkarır. Her olayın bir nedenden ileri geldiğini varsayarken dünyayı belirlenmiş olarak gördüğümüz için, bir olayın olabilirliği, bildiklerimizle bilmediklerimizin birleşimine bağlıdır. Laplace’ın olasılık teorisine göre birçok olaydan biri olan n olayının meydana geleceğine inanmak için hiçbir nedenimiz yoksa, her birinin meydana gelme olasılığı 1/n’dir. Örneğin, haftanın rastgele seçilen herhangi bir gününün salıya ya da perşembeye denk gelme olasılığı 2/7 olacaktır.
Öklid dışı geometri neydi?
Öklid geometrisi birçok aksiyoma dayanır; bunların en önemlisiyse paralel çizgilerin özelliğiyle ilgilidir.Öklid dışı geometri, Öklid aksiyomlarını değiştirdi.Fizikte, özellikle de bir ”dördüncü boyut” kavramına olanak tanıdığı için Albert Einstein’ın izafiyet (görelilik) teoerisinde uygulama alanı buldu.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Öklid dışı geometrinin ilkelerini ilk tasarlayan kişiydi ama düşüncelerini yayınlamadığı içn, bu onur bağımsız olarak çalışan Janos Bolyai’ye (1802-1860) ve Nikolay Lobaçevski’ye (1792-1856) verildi. Bu bilim insanları, bir düzlemdeki bir noktadan ayrı bir eş düzlemsel doğruya paralel olarak yalnızca bir tek doğrunun geçtiği şeklindeki kanıtlanamayan varsayımı reddettiler. Kurdukları yeni sistemde, bir doğrunun birden fazla paraleli bulunabilir ve bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 dereceden küçük olabilir.
19.yüzyılın ortalarında, Bernhard Riemann (1826-1866) düz çizgilerin her zaman birleştiği, dolayısıyla hiçbir paralelinin olmadığı ve ek olarak, bir üçgenin iç açılarının toplamının 180 dereceden büyük olduğu bir geometri geliştirdi. (Öklid geometrisinde paralel çizgiler asla birleşmez ve bir üçgenin iç açılarının toplamı daima 180 derecedir.) Reimann, ayrıca kaplamının bir ögesi olarak uzayın sınırsızlığı ile aynı uzayın eğriliğiyle bağlantlı olarak kat edilebilecek mesafenin sonsuz ölçüsü arasında da ayrım yaptı. Reimann, Gauss’un artık yayınlanmış olan çalışmasına dönerek, mesafe konusunda ilk kez Lobaçevski ve Bolyai tarafından tanıtılan yeni fikirleri trigonometri açısından açıkladı. Sözün özü, ”yay uzunluğu” bir yüzeydeki iki nokta arasında en kısa mesafe olarak anlaşılabilirdi; geometriye özelliklere ya da yüzeyin kendisinin de içinde yer aldığı geçerli geometriye değinmeye gerek yoktu.
1868’de Eugenio Beltrami (1835-1899) düzlemsel bir dairenin içinde, Bolyai tarzı iki boyutlu bir uzay modelini gösterdi. Bu, Öklid dışı geometrinin tutarlılığının, Öklid geometrisinin tutarlılığına bağlı olduğunu kanıtladı; böylece de Öklid dışı geometrinin geçerliliğinden kuşku duyanlara güven verdi.
Öklid dışı geometri diğer alanları nasıl etkiledi?
Uzay ve geometri arasındaki ilişki, Öklid dışı geometri sayesinde insanların zihninde sonsuza kadar değişti. Uzayın kendisinin kavisli olup olmadığı sorusu kafalarda belirdi. Bu, geometriyi tümden varsayımsal kıldı ve bazılarını a priori bilgi olasılığını sorgulamaya yöneltti. Yani uzay zorunlu olarak Öklid geometrisine uygun değilse ve başka bilinmeyen uzay geometrileri varsa, ”uzay hakkında a priori bilgi” sahibi olduğumuzu söylemenin ne anlamı vardır ki? Ayrıca uzayın kavisli olduğu düşüncesi, Albert Einstein’ın görelilik kuramına da uygundu. Dolayısıyla da fiziği ve evren anlayışımızı etkiledi.
Venn diyagramı ya da şeması nedir?
İngiliz filozof ve mantıkçı John Venn (1834-1923) örtüşen dairelerin meydana getirdiği ve kendi adını taşıyan mantık diyagramlar sistemini icat etti. Bunlar, çıkarımların geçerliliğini sınamak ve göstermek için kullanılabilir. Venn diyagramları, kümelerden oluşan toplulukları ve birbirleriyle ilişkilerini gösterir, mantık teorisinde yarar sağlar.
Jules Henri Poincare kimdi?
Jules Henri Poincare (1854-1912) matematikçi,fizikçi ve bilim filozofuydu. Öklid dışı geometrinin keşfedilmesine yanıt olarak, Immanuel Kant’ın (1724-1804) dünya hakkında bireşimsel a priori bilgiye, (yani gerçeklik için geçerli olan, deneyime dayanmayan kesin doğru bilgiye) sahip olduğumuz savının değişik bir yorumunu önerdi.
Önerisi zamanla ”uzlaşımcılık” olarak anılan öneriydi; buna göre fizikçiler Öklid geometrisini koruyacaklardır çünkü bu geometri en yalın geometrik uzlaşmaları içerir ve bu yüzden onlara uygundur. Bu öneri matematikte kısa ömürlü oldu. Çünkü Albert Einstein geliştirdiği Genel Görelilik (İzafiyet) Teorisinde, uzayın eğriliğinin Öklid dışı geometri ilkelerine uyduğunu gösterecekti. Bununla birlikte daha geniş bir ilke olarak uzlaşımcılık, yani bilimde doğrunun belirlenmiş kurallar üzerinde uzlaşmaya dayandığı görüşü, 20.yüzyılda bilimsel doğruya ilişkin bir fikir olarak yine canlanacaktı.
Gottlob Frege kimdi?
Gottlob Frege (1848-1925) Jena Üniversitesi’nde matematik profesörü olarak görev yaptı; Immanuel Kant’ın (1724-1804) matematiksel doğrunun bireşimsel (sentetik) -yani gerçeklikle ilgili- olduğunu öne sürmekle yanıldığı düşüncesindeydi. (Kant, matematiksel doğruların a priori bireşimsel olduğunu, başka bir deyişle hem dünya için geçerli hem de dünyaya ilişkin deneyimden bağımsız olarak bilindiğini öne sürmüştü.) Frege, matematik kavramlarının nasıl sadece mantık açısından tanımlanabildiğini ve dolayısıyla matematik teoremlerinin o zaman nasıl mantıksal doğrular olarak göründüğünü ortaya koymayı kendine görev edindi. Eğer matematik bu yolla mantığa indirgenebilseydi, matematiğin salt tanım gereği gerçek olduğu, yani hiçbir görgül içeriğinin bulunmadığı ve bu yüzden dünyayla ilgili olamayacağı ortaya konulurdu. Matematik böylelikle a priori olurdu ama Kant’ın ısrar ettiği gibi aynı zamanda da sentetik olmazdı.
Gottlob Frege’nin mantık felsefesinde yaptığı ana yenilik neydi?
Frege, yüklemleri birer işlev olarak, özneleriyse birer tez olarak ele aldı. Böylelikle, ”Sokrates ölümlüdür” cümlesi, ”ölümlü’ işlevini ”Sokrates’ tezine uygulaması” haline gelir. Frege, Begriffsschrift (Kavramsal Yazım;1879) adlı kitabında, ”tüm” ve ”vardır” gibi sözcükleri ve ifadeleri mantıksal niceleyiciler olarak ele almanın basit bir yolunu da tanıttı. Mantıksal niceleme, hakkında konuşulan şey ile bir değişkeni birbirine bağlayan bir yazım sistemidir. Söz gelişi, ”Bugün yaşayan her kişi gün gelip ölecek,” cümlesinde, ”bugün yaşayan kişi” hakkında konuşulur ve ”her” sözcüğü niceleyicidir. Frege’nin bu ele alış tarzı bugün de geçerlidir.
Gottlob Frege matematiği nasıl mantığa indirgemeye çalıştı?
Frege, Aritmetiğin Temelleri (1884) kitabında, mantığın ya da düşünce yasalarının nasıl düşündüğümüzü tanımlayıcı olmadığını ve sözcüklerin yalıtılmış olarak değil, ancak bağlam içinde anlam taşıdığını savundu. Sonra iki ciltlik Grundgesetze der Arithmetik (Aritmetiğin Temel Yasaları; 1893 ve 1903) kitabında, her yüklemin mantıkla tanımlanabilen bir sınıfı belirlediğini göstererek var gücüyle projesine başladı. Örneğin, kırmızı bir yüklemdir ve kırmızı şeylerden oluşan bir sınıfı belirler.
Gottlob Frege matematiği mantığa indirgemeyi başardı mı?
Ne yazık ki, hayır. Grundgesetze der Arithmetik ( Aritmetiğin Temel Yasaları;1893 ve 1903) kitabının ikinci cildi matbaaya gönderilmişti ki Frege,İngiliz filozof,tarihçi ve matematikçi Bertrand Russell’dan (1872-1970) bir mektup aldı; Russell ünlü paradoksunu sunuyordu: ”Kendinin elemanları olmayan tüm sınıfların oluşturduğu sınıf, kendinin elemanı mıdır, değil midir?” Soru kendi içinde tutarlıdır ama bir çelişkiyi beraberinde getirir, bu yüzden de yanıtı yoktur.
Frege böyle akıl yürütmenin temelsiz olduğunu kabul etmek zorunda kaldı: ”Bir bilim insanı, yeni bitirdiğim çalışmada olduğu gibi temelin çökmesinden daha nahoş bir şeyle pek karşılaşamaz. Çalışma neredeyse matbaadan çıkmak üzereyken, Bay Bertrand Russell’dan gelen bir mektup beni bu duruma soktu.” Buradaki büyük ironi, Russell’ın da matematiği mantığa indirgemek için kendi projesini başlatması ve başarısız olmasıdır!
Çevirmen: Hilal Nur YAVUZ
Kaynak: Naomi Zack, The Handy Philosophy Answer Book, p. 260-266, 2019.